រូបមន្តគណិតវិទ្យា

1. $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
2. $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$
3. $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
4. $\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\,i$

$\forall n\in\mathbb{N}$ គេអាចសរសេរ $i^n=i^{4k+A}$ ដែល $k$ ជាចំនួនគត់ និង $A=\{0,1,2,3\}$ គេបាន៖

• បើ $A=0$ នាំឲ្យ $i^n=i^{4k+0}=1$
• បើ $A=1$ នាំឲ្យ $i^n=i^{4k+1}=i$
• បើ $A=2$ នាំឲ្យ $i^n=i^{4k+2}=-1$
• បើ $A=3$ នាំឲ្យ $i^n=i^{4k+3}=-i$

បើ $\bar{Z},\ \bar{W}$ ជាកុំផ្លិចឆ្លាស់រៀងគ្នានៃ $Z,W$ គេបាន៖

1. $\overline{Z+W}=\bar{Z}+\bar{W}$
2. $\overline{Z-W}=\bar{Z}-\bar{W}$
3. $\overline{ZW}=\bar{Z}\times\bar{W}$
4. $\overline{\left(\dfrac{Z}{W}\right)}=\dfrac{\bar{Z}}{\bar{W}}\ ,\ W\neq 0$

• ម៉ូឌុល : $|z|=r=OM=\sqrt{a^2+b^2}$
• អាគុយម៉ង់ : $\arg z=\alpha+2k\pi\ ,\ k\in\mathbb{Z}$
• គេបាន : $\cos\alpha=\dfrac{a}{r}\ ,\ \sin\alpha=\dfrac{b}{r}$

• ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ : $z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$
• ស្វ័យគុណ : $z^n=r^n(\cos n\alpha+i\sin n\alpha)$
• ដឺម៉ូវ : $(\cos\alpha+i\sin\alpha)^n=\cos n\alpha+i\sin n\alpha$

បើមាន $z_1=r_1(\cos\alpha_1+i\sin\alpha_1)$ និង $z_2=r_2(\cos\alpha_2+i\sin\alpha_2)$ គេបាន៖

បើ $z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ មានឬសទី $n$ គឺ៖

ដែល $k=0,1,2,3,\dots,n-1$។

បើមាន $\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$, $\lim\limits_{x\to a}g(x)=M$ និង $\lim\limits_{x\to a}h(x)=N$ ដែល $L,M,N,k$ ជាចំនួនពិត គេបានលក្ខណៈប្រមាណវិធីលើលីមីតដូចខាងក្រោម៖

1. $\lim\limits_{x\to a}k=k$
2. $\lim\limits_{x\to a}\big[f(x)\pm g(x)\big]=L\pm M$
3. $\lim\limits_{x\to a}\big[f(x)+g(x)-h(x)\big]=L+M-N$
4. $\lim\limits_{x\to a}kf(x)=k\lim\limits_{x\to a}f(x)=k\cdot L$
5. $\lim\limits_{x\to a}\big[f(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\big]=L\times M\times N$
6. $\lim\limits_{x\to a}\big[f(x)/g(x)\big]=L/M\ ,\ M\neq 0$
7. $\lim\limits_{x\to a}\big[f(x)\big]^n=L^n\ ,\ n\in\mathbb{N}$

1. $\lim\limits_{x\to a}\sin x=\sin a$
2. $\lim\limits_{x\to a}\cos x=\cos a$
3. $\lim\limits_{x\to a}\tan x=\tan a$
4. $\lim\limits_{x\to a}\cot x=\cot a$
5. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$
6. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{\sin x}=1$
7. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x}=0$
8. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin nx}{nx}=1$

1. $\lim\limits_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty$
2. $\lim\limits_{x\to-\infty}e^{x}=0$
3. $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty$
4. $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty$
5. $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^{n}}{e^{x}}=0$
6. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1$
7. $\lim\limits_{u\to 0}\dfrac{e^{u}-1}{u}=1$
8. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{n}-1}{x}=n$
9. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{a^{x}-1}{x}=\ln a$
10. $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=e$
11. $\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\approx 2.71828182\dots$

1. $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$
2. $\lim\limits_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$
3. $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$
4. $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^{n}}=0$
5. $\lim\limits_{x\to 0^{+}}x^{n}\ln x=0$
6. $\lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{\ln x}{x^{n}}=-\infty$
7. $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{n}\ln x=+\infty$
8. $\lim\limits_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$
9. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$

• បើ $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty$ នោះ $x=a$ ជាអាស៊ីមតូត ឈរ
• បើ $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=b$ នោះ $y=b$ ជាអាស៊ីមតូត ដេក
• បើ $\lim\limits_{x\to\infty}\big[f(x)-(ax+b)\big]=0$ នោះបន្ទាត់ $y=ax+b$ ជាអាស៊ីមតូត ទ្រេត

1. $\displaystyle\int dx=x+c$
2. $\displaystyle\int k\,dx=kx+c$
3. $\displaystyle\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$
4. $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+c$
5. $\displaystyle\int\frac{1}{x^{2}}dx=-\frac{1}{x}+c$
6. $\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+c$
7. $\displaystyle\int\frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}\ln(ax+b)+c$
8. $\displaystyle\int\frac{1}{(ax+b)^{2}}dx=-\frac{1}{a(ax+b)}+c$
9. $\displaystyle\int(ax+b)^{n}dx=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+c$
10. $\displaystyle\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+c$
11. $\displaystyle\int f'(x)\big[f(x)\big]^{n}dx=\frac{\big[f(x)\big]^{n+1}}{n+1}+c$

1. $\displaystyle\int e^{x}dx=e^{x}+c$
2. $\displaystyle\int e^{ax}dx=\frac{e^{ax}}{a}+c$
3. $\displaystyle\int e^{u}du=e^{u}+c$
4. $\displaystyle\int e^{ax+b}dx=\frac{1}{a}e^{ax+b}+c$
5. $\displaystyle\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+c$
6. $\displaystyle\int f'(x)e^{f(x)}dx=e^{f(x)}+c$

1. $\displaystyle\int\ln x\,dx=x\ln x-x+c$
2. $\displaystyle\int x^{n}\ln x\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\left(\ln x-\frac{1}{n+1}\right)+c$
3. $\displaystyle\int\frac{\ln x}{x}dx=\frac{1}{2}\ln^{2}x$
4. $\displaystyle\int\frac{\ln^{n}x}{x}dx=\frac{\ln^{n+1}x}{n+1}$
5. $\displaystyle\int\frac{1}{x\ln x}dx=\ln(\ln x)+c$

1. $\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+c$
2. $\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+c$
3. $\displaystyle\int\sin ax\,dx=-\frac{1}{a}\cos ax+c$
4. $\displaystyle\int\cos ax\,dx=\frac{1}{a}\sin ax+c$
5. $\displaystyle\int\sin ax\cdot\cos ax\,dx=\frac{1}{2a}\sin^{2}ax+c$
6. $\displaystyle\int\frac{1}{\cos^{2}x}dx=\int(1+\tan^{2}x)dx=\tan x+c$
7. $\displaystyle\int\frac{1}{\sin^{2}x}dx=\int(1+\cot^{2}x)dx=-\cot x+c$

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ជាទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍ ដេរីវេរបស់អនុគមន៍ និងអថេរ សម្រាប់បកស្រាយបញ្ហា និងបាតុភូតដែលកើតឡើងក្នុងធម្មជាតិ និងវិទ្យាសាស្ត្រ។

• គេសរសេរ $dy=f(x)dx$ បំពាក់អាំងតេក្រាល គេបាន $y=\displaystyle\int f(x)dx+c$ ជាចម្លើយទូទៅ។
• រកចម្លើយពិសេសតាមលក្ខខណ្ឌដើម គឺយក $x_0$ និង $y_0$ ជំនួសក្នុងសមីការទូទៅ រួចទាញរកចំនួនថេរ $c$។

គេមាន $g(y)dy=f(x)dx$ បំពាក់អាំងតេក្រាល គេបាន $G(y)=F(x)+c$ , $c$ ថេរ ដែល $G(y)$ និង $F(x)$ ជាព្រីមីទីវរៀងគ្នានៃ $g(y)$ និង $f(x)$។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល $y'+ay=0$ , $a\in\mathbb{R}$ មានចម្លើយទូទៅគឺ៖

• រក $y_c$ ជាចម្លើយទូទៅនៃសមីការ $y'+ay=0$
• រកចម្លើយពិសេស $y_p$ នៃ $y'+ay=p(x)$
• ចម្លើយទូទៅនៃ $y'+ay=p(x)$ គឺ $y=y_c+y_p$

ដោះស្រាយសមីការ $y'+ay=p(x)$ តាមវិធីបម្រែបម្រួលចំនួនថេរ គេបានចម្លើយទូទៅគឺ៖

ដែល $y_c=ce^{-ax}$ និង $y_p=e^{-ax}\displaystyle\int e^{ax}p(x)dx$។

ដោះស្រាយសមីការសម្គាល់ $ar^{2}+br+c=0$

• បើ $\Delta \gt 0$ : មានឬសពីរ $\alpha,\beta$  ⟶  $y=Ae^{\alpha x}+Be^{\beta x}$
• បើ $\Delta = 0$ : មានឬសឌុប $\alpha$  ⟶  $y=Axe^{\alpha x}+Be^{\alpha x}$
• បើ $\Delta \lt 0$ : មានឬស $\alpha\pm i\beta$  ⟶  $y=(A\cos\beta x+B\sin\beta x)e^{\alpha x}$

មេគុណប្រាប់ទិសនៃបន្ទាត់ប៉ះត្រង់ $x_0$ គឺ៖

សមីការបន្ទាត់ប៉ះក្រាបត្រង់ $x_0$ កំណត់ដោយ៖

• បើ $f(-x)=f(x)$ នោះ $f$ ជាអនុគមន៍ គូ — ក្រាបនៃអនុគមន៍គូមានអ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សឈរ។
• បើ $f(-x)=-f(x)$ នោះ $f$ ជាអនុគមន៍ សេស — ក្រាបនៃអនុគមន៍សេសមានគល់តម្រុយជាទិចផ្ចិត។

1. រក $f''(x)$ រួចដោះស្រាយ $f''(x)=0$
2. សិក្សាសញ្ញា $f''(x)$ តាមករណី

• បើ $f''(x)$ ប្តូរសញ្ញានៅសងខាង $x_0$ នោះខ្សែកោងមានចំណុចរបត់។
• បើ $f''(x)$ មិនប្តូរសញ្ញា នោះខ្សែកោងគ្មានចំណុចរបត់ទេ។

ចំណុច $I(a,b)$ ជាទិចផ្ចិតនៃខ្សែកោងតាងអនុគមន៍ $f$ កាលណាវាផ្ទៀងផ្ទាត់៖

គេយក $I(a,b)$ ជាគល់តម្រុយថ្មី តាមរូបមន្តប្តូរគល់តម្រុយ៖

ជំនួសរួចបាន $F(X)=Y=y-b=\dots$ បើបង្ហាញថា $F(-X)=-F(X)$ នោះ $F(x)$ ជាអនុគមន៍សេស មាន $I$ ជាទិចផ្ចិត។

• ដែនកំណត់ (តម្លៃ $x$ ដែលធ្វើឲ្យអនុគមន៍មាននន័យ)
• ទិសដៅអថេរភាព ៖ ដេរីវេ, បម្រែ, លីមីត, អាស៊ីមតូត, តារាងអថេរភាព
• សង់ក្រាប ៖ $C\cap xx'$ , $C\cap yy'$ , ទីតាំងក្រាបធៀបអាស៊ីមតូតទ្រេត, ចំណុចរបត់, ទិចផ្ចិត
• ដោយប្រើក្រាបដើម្បីសិក្សាចំនួនឬស ឬដោះស្រាយសមីការ ឬវិសមីការ ឬគណនាផ្ទៃក្រឡា …

• កូអរដោនេផ្ចិត : $O(h,k)$
• សមីការស្តង់ដា : $\dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$
• កូអរដោនេកំពូល : $V(h\pm a,\,k)$
• កូអរដោនេកំណុំ : $F(h\pm c,\,k)$

• កូអរដោនេផ្ចិត : $O(h,k)$
• សមីការស្តង់ដា : $\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1$
• កូអរដោនេកំពូល : $V(h,\,k\pm a)$
• កូអរដោនេកំណុំ : $F(h,\,k\pm c)$

• កូអរដោនេផ្ចិត : $O(h,k)$
• សមីការស្តង់ដា : $\dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$
• កំពូលទាំងពីរ : $V(h\pm a,\,k)$
• កំណុំទាំងពីរ : $F(h\pm c,\,k)$
• អាស៊ីមតូតទាំងពីរ : $y=k\pm\dfrac{b}{a}(x-h)$

• កូអរដោនេផ្ចិត : $O(h,k)$
• សមីការស្តង់ដា : $\dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1$
• កំពូលទាំងពីរ : $V(h,\,k\pm a)$
• កំណុំទាំងពីរ : $F(h,\,k\pm c)$
• អាស៊ីមតូតទាំងពីរ : $y=k\pm\dfrac{a}{b}(x-h)$

• $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$  — $A,B$ មិនទាក់ទងគ្នា
• $P(A\cap B)=P(A)\times P(B\mid A)$  — ទាក់ទងគ្នា

• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$  — $A,B$ មិនចុះសម្រុងគ្នា

បើ $P(A)\neq 0$ , $P(B)\neq 0$ ៖

ទាញបានប្រូបាបនៃព្រឹត្តិការណ៍ផលគុណ $A$ និង $B$ គឺ៖

1. $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$
2. $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$
3. $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$
4. $\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1$
5. $1+\tan^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$
6. $1+\cot^{2}x=\dfrac{1}{\sin^{2}x}$
7. $\sin 2x=2\sin x\cos x$
8. $\cos 2a=\cos^{2}a-\sin^{2}a$
9. $1-\cos 2x=2\sin^{2}x$
10. $1+\cos 2x=2\cos^{2}x$
11. $\cos 3a=4\cos^{3}a-3\cos a$
12. $\sin 3a=-4\sin^{3}a+3\sin a$
13. $\cos 4a=\cos^{4}a+\sin^{4}a-6\cos^{2}a\sin^{2}a$
14. $\sin 4a=4\cos^{3}a\sin a-4\cos a\sin^{3}a$

1. $e^{m+n}=e^{m}\cdot e^{n}$
2. $\left(e^{m}\right)^{n}=e^{mn}$
3. $e^{-n}=\dfrac{1}{e^{n}}$
4. $\dfrac{e^{m}}{e^{n}}=e^{m-n}$
5. $\ln 1=0$
6. $\ln e=1$
7. $\ln xy=\ln x+\ln y$
8. $e^{\ln x}=x$
9. $\ln\dfrac{x}{y}=\ln x-\ln y$

1. $\Delta=b^{2}-4ac\ ,\quad x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
2. $\Delta'=b'^{2}-ac\ ,\quad x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}$
3. $S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\ ,\quad P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
4. $a+b+c=0\ \Rightarrow\ x_1=1\ ,\ x_2=c/a$
5. $a-b+c=0\ \Rightarrow\ x_1=-1\ ,\ x_2=-c/a$

គេឲ្យ $f$ ជាអនុគមន៍កំណត់ និងជាប់ ហើយមានដេរីវេលើចន្លោះ $I$។ បើមានពីរចំនួនពិត $m$ និង $M$ ដែលចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $a,b\in I$ គេបាន៖

គេឲ្យ $f$ មានដេរីវេលើចន្លោះ $[a,b]$ បើមានចំនួនពិត $M$ ដែល $|f'(x)|\le M$ ចំពោះ $x\in[a,b]$ នោះគេបាន៖

បើ $f$ ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ $[a,b]$ មានដេរីវេលើចន្លោះ $(a,b)$ និង $f(a)=f(b)$ នោះមាន $c\in(a,b)$ យ៉ាងតិចមួយដែល $f'(c)=0$។

បើ $f$ ជាអនុគមន៍ជាប់លើចន្លោះ $[a,b]$ មានដេរីវេលើចន្លោះ $(a,b)$ នោះមាន $c\in(a,b)$ យ៉ាងតិចមួយដែល៖